数据结构1.01--复杂度

数据结构与算法笔记（一）————复杂度

什么是数据结构？什么是算法？

从广义上讲，数据结构就是指一组数据的存储结构。算法就是操作数据的一组方法。
图书馆储藏书籍，为了方便查找，图书管理员一般会将书籍分门别类进行“存储”。按照一定规律编号，就是书籍这种“数据”的存储结构。那我们如何来查找一本书呢？有很多种办法，你当然可以一本一本地找，也可以先根据书籍类别的编号，是人文，还是科学、计算机，来定位书架，然后再依次查找。笼统地说，这些查找方法都是算法。
从狭义上讲，是指某些著名的数据结构和算法，比如队列、栈、堆、二分查找、动态规划等。

那数据结构和算法有什么关系呢？数据结构和算法是相辅相成的。数据结构是为算法服务的，算法要作用在特定的数据结构之上。
比如，因为数组具有随机访问的特点，常用的二分查找算法需要用数组来存储数据。但如果我们选择链表这种数据结构，二分查找算法就无法工作了，因为链表并不支持随机访问。
数据结构是静态的，它只是组织数据的一种方式。如果不在它的基础上操作、构建算法，孤立存在的数据结构就是没用的。
数据结构和算法解决的是如何更省、更快地存储和处理数据的问题，因此，我们就需要一个考量效率和资源消耗的方法，这就是复杂度分析方法。

复杂度分析

数据结构和算法本身解决的是“快”和“省”的问题，即如何让代码运行得更快，如何让代码更省存储空间。所以，执行效率是算法一个非常重要的考量
指标。那如何来衡量编写的算法代码的执行效率呢？时间、空间复杂度分析。

大O复杂度表示法

算法的执行效率，粗略地讲，就是算法代码执行的时间。
例如：

 int cal(int n) {
 int sum = 0;
 int i = 1;
 for (; i <= n; ++i) {
 sum = sum + i;
 return sum;
}

粗略估计，所以可以假设每行代码执行的时间都一样，为unit_time。在这个假设的基础之上，第2、3行代码分别需要1个unit_time的执行时间，第4、5行都运行了n遍，所以需要2nunit_time的执行时间，所以这段代码总的执行时间就是(2n+2)unit_time。可 以看出来，所有代码的执行时间T(n)与每行代码的执行次数成正比。
再例如：

int cal(int n) {
int i = 1;
 int sum = 0；
int j=1；
 for (; j <= n; ++j) {
 j = 1;
 for (; i <= n; ++i) {
sum=sum+i*j；
 }
 }
 }

我们依旧假设每个语句的执行时间是unit_time。
第2、3、4行代码，每行都需要1个unit_time的执行时间，第5、6行代码循环执行了n遍，需要2n * unit_time的执行时间，第7、8行代码循环执行了n2遍，所以需要2n2 * unit_time的执行时间。所以，整段代码总的执行时间T(n) = (2n2+2n+3) * unit_time。
尽管不知道unit_time的具体值，但是通过这两段代码执行时间的推导过程，可以得到一个非常重要的规律，那就是，所有代码的执行时间T(n)与每行代码
的执行次数n成正比。
第一个例子中的T(n) = O(2n+2)，第二个例子中的T(n) = O(2n2+2n+3)。这就是大O时间复杂度表示法。
大O时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度。
当n很大时，可以把它想象成10000、100000。而公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势，所以都可以忽略。只需要记录一个最大量级就可以
了，如果用大O表示法表示刚讲的那两段代码的时间复杂度，就可以记为：T(n) = O(n)； T(n) = O(n2)。

时间复杂度分析

如何分析一段代码的时间复杂度？

只关注循环执行次数最多的一段代码

大O这种复杂度表示方法只是表示一种变化趋势。通常会忽略掉公式中的常量、低阶、系数，只需要记录一个最大阶的量级就可以了。所以，我
们在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候，也只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了。这段核心代码执行次数的n的量级，就是整段要分析代码
的时间复杂度。

分析：

 int cal(int n) {
 int sum = 0;
 int i = 1;
 for (; i <= n; ++i) {
 sum = sum + i;
 return sum;
}

其中第2、3行代码都是常量级的执行时间，与n的大小无关，所以对于复杂度并没有影响。循环执行次数最多的是第4、5行代码，所以这块代码要重点分析。这两行代码被执行了n次，所以总的时间复杂度就是O(n)。

加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度

int p = 1;
int sum_1 = 0;
int cal(int n) {
}
sum_1 = sum_1 + p;
for (; p < 100; ++p) {
sum_2 = sum_2 + q;
}
for (; q < n; ++q) {
int q = 1;
int sum_2 = 0;
for (; i <= n; ++i) {
int j = 1;
int i = 1;
int sum_3 = 0;
sum_3 = sum_3 + i * j;
for (; j <= n; ++j) {
j = 1; 
}
}
}
return sum_1 + sum_2 + sum_3;

这个代码分为三部分，分别是求sum_1、sum_2、sum_3。我们可以分别分析每一部分的时间复杂度，然后把它们放到一块儿，再取一个量级最大的作为整段代码
的复杂度。
第一段代码循环执行了100次，所以是一个常量的执行时间，跟n的规模无关。即便这段代码循环10000次、100000次，只要是一个已知的数，跟n无关，照样也是常量级的执行时间。当n无限大的时候，就可以忽略。尽
管对代码的执行时间会有很大影响，但是回到时间复杂度的概念来说，它表示的是一个算法执行效率与数据规模增长的变化趋势，所以不管常量的执行时间多大，我们都可以忽略掉。因为它本身对增长趋势并没有影响。
那第二段代码和第三段代码的时间复杂度是O(n)和O(n2)。
综合这三段代码的时间复杂度，取其中最大的量级。所以，整段代码的时间复杂度就为O(n2)。也就是说：总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间
复杂度。那将这个规律抽象成公式就是：
如果T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n))).

乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

如果T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么T(n)=T1(n)*T2(n)=O(f(n))*O(g(n))=O(f(n)*g(n)).

也就是说，假设T1(n) = O(n)，T2(n) = O(n2)，则T1(n) * T2(n) = O(n3)。
落实到具体的代码上，可以把乘法法则看成是嵌套循环。

int ret = 0; 
int cal(int n) {
ret = ret + f(i);
for (; i < n; ++i) {
int i = 1;
} 
} 
int sum = 0;
int f(int n) {
sum = sum + i;
for (; i < n; ++i) {
int i = 1;
}
return sum;
}

单独看cal()函数。假设f()只是一个普通的操作，那第4～6行的时间复杂度就是，T1(n) = O(n)。但f()函数本身不是一个简单的操作，它的时间复杂度是T2(n) =O(n)，所以，整个cal()函数的时间复杂度就是，T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n * n) = O(n2)。

几种常见时间复杂度实例分析

• O(1)
  O(1)只是常量级时间复杂度的一种表示方法，并不是指只执行了一行代码。比如这段代码，即便有3行，它的时间复杂度也是O(1），而不是O(3)。

  int j = 6;
  int sum = i + j;
  int i = 8;

  总结一下，只要代码的执行时间不随n的增大而增长，这样代码的时间复杂度我们都记作O(1)。或者说，一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)。

• O(logn)、O(nlogn)
  对数阶时间复杂度非常常见，同时也是最难分析的一种时间复杂度。

  i=1;
  while (i <= n) {
  i = i * 2;
  }

  第三行代码是循环执行次数最多的。所以，我们只要能计算出这行代码被执行了多少次，就能知道整段代码的时间复杂度。
  从代码中可以看出，变量i的值从1开始取，每循环一次就乘以2。当大于n时，循环结束。还实际上，变量i的取值就是一个等比数列。如果我把它一个一个列出来:2^0+2^1+2^2+….+2^x=n;
  通过2x=n求解x,x=log2n，所以，这段代码的时间复杂度就是O(log2n)。

  i=1;
  while (i <= n) {
  i = i * 3;
  }

  这段代码的时间复杂度为O(log3n)。
  实际上，不管是以2为底、以3为底，还是以10为底，可以把所有对数阶的时间复杂度都记为O(logn)。
  因为对数之间是可以互相转换的，log3n就等于log32 * log2n，所以O(log3n) = O(C * log2n)，其中C=log32是一个常量。基于前面的一个理论：在采用大O标记复杂度的时候，可以忽略系数，即O(Cf(n)) = O(f(n))。所以，O(log2n) 就等于O(log3n)。因此，在对数阶时间复杂度的表示方法里，我们忽略对数的“底”，统一表示为O(logn)。
  如果一段代码的时间复杂度是O(logn)，我们循环执行n遍，时间复杂度就是O(nlogn)了。而且，O(nlogn)也是一种非常常见的算法时间复杂度。比如，归并排序、快速排序的时间复杂度都是O(nlogn)。

• O(m+n)、O(m * n)

   int i = 1;
   int sum_1 = 0;
   int cal(int m, int n) {
   }
   sum_1 = sum_1 + i;
   for (; i < m; ++i) {
   int j = 1;
   int sum_2 = 0;
   }
   sum_2 = sum_2 + j;
   for (; j < n; ++j) {
   return sum_1 + sum_2;
  }

  从代码中可以看出，m和n是表示两个数据规模。我们无法事先评估m和n谁的量级大，所以我们在表示复杂度的时候，就不能简单地利用加法法则，省略掉其中一个。所以，上面代码的时间复杂度就是O(m+n)。
  针对这种情况，原来的加法法则就不正确了，我们需要将加法规则改为：T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法则继续有效：T1(m)*T2(n) = O(f(m) * f(n))。

空间复杂度分析

时间复杂度的全称是渐进时间复杂度，表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。类比一下，空间复杂度全称就是渐进空间复杂度（asymptotic space complexity），表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。

 
 void print(int n) {
 int[] a = new int[n];
 int i = 0;
 for (i; i <n; ++i) {
 a[i] = i * i;
 }

 
 for (i = n-1; i >= 0; --i) {
  print out a[i];
 }
}

跟时间复杂度分析一样，我们可以看到，第2行代码中，我们申请了一个空间存储变量i，但是它是常量阶的，跟数据规模n没有关系，所以我们可以忽略。第3行申
请了一个大小为n的int类型数组，除此之外，剩下的代码都没有占用更多的空间，所以整段代码的空间复杂度就是O(n)。
常见的空间复杂度就是O(1)、O(n)、O(n2 )，像O(logn)、O(nlogn)这样的对数阶复杂度平时都用不到。而且，空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。